Fokker-Planck : le paysage de l'opinion publique¶
Passer de l'individu à la distribution¶
Suivre un million d'individus est impossible ; suivre la densité de probabilité de l'opinion collective ne l'est pas. C'est ce que fait l'équation de Fokker-Planck, appliquée à la variable macroscopique \(x \in [-1, 1]\) — le taux d'adhésion à une idée :
Deux forces antagonistes :
- la dérive \(A(x)\) — déterministe : conformisme et champ médiatique ;
- la diffusion \(B(x)\) — stochastique : bruit, agitation, hasard individuel.
Le parallèle avec l'équation de Schrödinger est structurel : dans les deux cas, la forme du potentiel dicte la forme de la fonction de probabilité stationnaire. Un potentiel à double puits produit, en physique quantique, des états stationnaires localisés au fond de chaque puits ; en dynamique d'opinion, deux blocs polarisés.
La dérive : ce que le raisonnement d'origine avait omis¶
Le fil posait \(V(x) = -\frac{J}{2}x^2 - Hx\), d'où \(A(x) = Jx + H\).
Cette formulation ne peut produire aucune transition de phase : \(\exp(NJx^2/2T)\) est convexe, donc maximale aux extrêmes à toute température. Le modèle prédirait une société éternellement polarisée, y compris à température infinie.
Le terme manquant est l'entropie de mélange — le nombre de configurations individuelles compatibles avec une opinion moyenne \(x\). En l'ajoutant, on retrouve exactement l'énergie libre de Helmholtz \(F = E - TS\) que le fil invoquait par ailleurs :
Trois forces s'y superposent :
- \(Jx\) — le conformisme, qui amplifie la majorité existante ;
- \(H\) — le champ médiatique, qui pousse dans une direction imposée ;
- \(-T\,\mathrm{artanh}(x)\) — le rappel entropique, qui ramène vers la modération et diverge aux opinions unanimes.
Ce dernier terme borne la dynamique dans \((-1,1)\) et fait apparaître une vraie température critique de champ moyen \(T_c = J\). La formulation du fil en est la linéarisation au voisinage de \(x = 0\) — incomplète précisément là où se joue le phénomène. → audit, point 4
La diffusion : ce qu'une grande population fait réellement¶
Le facteur \((1-x^2)\) éteint le bruit à l'unanimité : il n'y a plus de désaccord à échantillonner.
Le facteur \(1/N\) dit quelque chose de contraire au récit initial : plus la population est grande, plus le bruit de sa variable macroscopique est faible. C'est la loi des grands nombres.
Il n'y a pas de contradiction, mais deux échelles qu'il faut cesser de confondre :
| Grandeur | Comportement en \(N\) | Ce qu'elle décrit |
|---|---|---|
| entropie de configuration totale | croît (extensive) | le nombre de façons d'être en désaccord |
| fluctuations de la moyenne \(x\) | décroît en \(1/N\) | la stabilité du taux d'adhésion observé |
D'où la reformulation retenue :
Une grande population ne devient pas bruyante, elle devient rigide. Sa taille ne l'agite pas, elle la prive de plasticité stochastique — et c'est cette rigidité qui rend la polarisation irréversible : un système sans bruit ne peut plus quitter le puits où il est tombé.
Cette version est plus forte que l'originale : elle explique l'irréversibilité. → audit, point 3
Les trois régimes de l'opinion publique¶
La distribution d'équilibre s'écrit sous forme de grandes déviations :
Le facteur \(N\) rend la pénalité d'autant plus sévère que la population est grande. Trois formes, obtenues en changeant deux paramètres :
| Régime | Conditions | Paysage | Société |
|---|---|---|---|
| Fluide | \(T > T_c\) | un puits centré | débat vivant, modération majoritaire |
| Polarisé | \(T < T_c\), \(H = 0\) | deux puits symétriques | deux blocs d'égale force |
| Manipulé | \(T < T_c\), \(H > 0\) | deux puits inclinés | faux consensus imposé par le champ |
Le « faux consensus » n'est pas une hypothèse ajoutée : c'est le puits incliné. Et la densité de modérés s'effondre exponentiellement avec \(N\) — dans une grande population sous \(T_c\), la modération n'est pas minoritaire, elle est statistiquement inaccessible.
Franchir la barrière¶
Comment une opinion passe-t-elle d'un bloc à l'autre sans traverser la modération ?
Le fil parlait d'un « effet tunnel social ». L'effet tunnel étant strictement quantique, le mécanisme correct est le franchissement de barrière par activation thermique, décrit par la formule de Kramers, dont le taux varie comme \(e^{-\Delta V / k_B T}\).
On perd une image séduisante, on gagne une prédiction : la loi de Kramers donne une dépendance en température que l'effet tunnel ne donne pas. → audit, point 9
Note numérique¶
Le solveur est écrit en volumes finis à flux nul aux bords : chaque cellule n'échange qu'avec ses voisines, et la masse de probabilité est conservée exactement, à la précision machine près. Cela permet de distinguer un vrai effondrement de la modération d'une fuite numérique.
L'advection est décentrée amont. Une interpolation centrée serait plus précise sur le papier, mais elle est inconditionnellement instable dès que le nombre de Péclet de maille dépasse 2 — ce qui est le régime normal ici, la diffusion étant en \(1/N\).
Implémentation : ide.fokker_planck · Notebook :
04 — Fokker-Planck