09 — Second moment civilisationnel `M(s)`¶

Avertissement éthique : Ce profil est inféré à partir de sources publiques agrégées. Il ne doit pas être utilisé pour classer des individus réels. Voir `07_ethics_publication_policy.md.

Renommage v3.0 (anciennement « tenseur de tension T(s) »)

L'objet mathématique est identique à celui publié sous le nom T(s) en v2.0. Le nom a été corrigé pour évacuer une analogie mécanique fragile : la formule Σᵢ wᵢ (μᵢ − xₛ)(μᵢ − xₛ)ᵀ est un second moment pondéré, pas une grandeur de contrainte. L'analogie aux milieux continus reste une métaphore pédagogique, jamais une physique. Voir doc 11 §C9–C13.

1. Définition et dérivation rigoureuse¶

Pour un État s avec :

vecteur d'affinité wₛ ∈ Δ¹⁰ (poids sur les 11 macro-civilisations, simplexe),
coordonnée xₛ ∈ B_score = ℝ⁶ (vecteur Hofstede 6D),
centroïdes μᵢ^score ∈ ℝ⁶ des civilisations i = 1..11,

le second moment civilisationnel est défini par :

M(s) = Σᵢ wₛ[i] · (μᵢ − xₛ)(μᵢ − xₛ)ᵀ           ∈ ℝ^{6×6}

C'est l'outer product pondéré des écarts à chaque centroïde, sommé sur les civilisations. Le résultat est :

symétrique : M = Mᵀ,
positif semi-défini : pour tout u, uᵀMu = Σᵢ wₛ[i] · ((μᵢ − xₛ)·u)² ≥ 0.

1.1 Décomposition Cov_w + biais (+ inflation de prior)¶

Soit μ̄ = Σᵢ wₛ[i] · μᵢ le barycentre pondéré des centroïdes sous l'affinité de l'État. Alors :

M(s) = Cov_w(μ ; wₛ)  +  (Σᵢ wₛ[i]) · (μ̄ − xₛ)(μ̄ − xₛ)ᵀ  +  diag(σ_prior²)

Le troisième terme (prior_variance_inflation) est nul pour les États x_score_provenance == observed. Pour les autres tiers de la cascade (doc 16), il vaut diag(σ_score(civ)²) quand la provenance est centroid_prior, ou diag(RMSE_dim²) quand elle est imputed_governance. Cette inflation propage explicitement l'incertitude d'imputation jusque dans les invariants de M(s). Le champ decomposition.prior_variance_inflation permet de vérifier l'identité.

où Cov_w(μ ; wₛ) = Σᵢ wₛ[i] · (μᵢ − μ̄)(μᵢ − μ̄)ᵀ est la covariance pondérée des centroïdes autour de leur barycentre d'affinité.

Démonstration¶

Écrivons Δᵢ = μᵢ − xₛ = (μᵢ − μ̄) + (μ̄ − xₛ). Alors :

Δᵢ Δᵢᵀ = (μᵢ − μ̄)(μᵢ − μ̄)ᵀ
       + (μᵢ − μ̄)(μ̄ − xₛ)ᵀ
       + (μ̄ − xₛ)(μᵢ − μ̄)ᵀ
       + (μ̄ − xₛ)(μ̄ − xₛ)ᵀ

En sommant avec poids wₛ[i] et en utilisant Σᵢ wₛ[i](μᵢ − μ̄) = 0 (par définition de μ̄), les termes croisés s'annulent et il reste :

M(s) = Σᵢ wₛ[i] · (μᵢ − μ̄)(μᵢ − μ̄)ᵀ  +  (Σᵢ wₛ[i]) · (μ̄ − xₛ)(μ̄ − xₛ)ᵀ
     = Cov_w(μ ; wₛ)  +  (Σᵢ wₛ[i]) · (μ̄ − xₛ)(μ̄ − xₛ)ᵀ

(QED)

1.2 Interprétation des deux composantes¶

Composante	Nature	Interprétation
`Cov_w(μ ; wₛ)`	Dispersion intra-civilisationnelle sous l'affinité de l'État	Étalement géométrique des centroïdes pondéré par `wₛ` — indépendant de `xₛ`.
`(μ̄ − xₛ)(μ̄ − xₛ)ᵀ · Σwₛ`	Biais de l'État par rapport à son barycentre d'affinité	Rang 1, aligné sur le vecteur `μ̄ − xₛ` — mesure à quel point l'État est en-dehors de la zone d'affinité qu'il revendique.

Cette décomposition est publiée dans state_moments.json sous la clé decomposition (cf. schemas/state_moment.schema.json).

1.3 Valeur informationnelle au-delà de `xₛ`¶

Une critique légitime (cf. doc 11 §C11) est que wₛ est déjà dérivé de xₛ (softmax inverse-distance, cf. doc 08 §4.2), donc M(s) est doublement fonction de xₛ et redondant en information.

La nuance : M(s) est une fonction non-linéaire de xₛ qui factorise l'information selon les directions Hofstede où les civilisations se distribuent. Là où xₛ répond à où est l'État dans B_score, M(s) répond à dans quelles directions l'État voit-il les civilisations dispersées ?. Les eigenvectors eₖ capturent ces directions.

C'est une information secondaire : elle ne crée pas de signal nouveau, mais elle structure le signal existant selon des axes interprétables. Sa validité empirique est testée dans doc 13 — Sensitivity analysis.

2. Invariants scalaires¶

Invariant	Formule	Interprétation
`I1 = tr(M)`	Trace	Magnitude totale de la dispersion pondérée
`I2_von_mises`	`√(3/2 · s:s)` avec `s = M − tr(M)/6 · I` (déviateur)	Mesure standard de l'anisotropie déviatorique (mécanique des solides)
`det(M)`	Déterminant	Volume du second moment

Correction v3.0 : la définition de I2 en v2.0 était tr(M²) − tr(M)²/n qui n'est pas la définition canonique de von Mises. La version corrigée utilise la double contraction du déviateur s:s, conforme à l'usage en mécanique des solides.

2.1 Décomposition propre¶

M(s) = Σₖ λₖ · eₖ ⊗ eₖ     avec λ₁ ≥ … ≥ λ₆ ≥ 0

λₖ = valeur propre k — magnitude de dispersion sur la direction eₖ.
eₖ = direction principale dans B_score, axes Hofstede combinés où la dispersion est maximale.

2.2 Index d'anisotropie¶

A(s) = (λ₁ − λ₆) / λ₁     ∈ [0, 1]

A ≈ 0 : dispersion isotrope — État équilibré, dispersion répartie.
A ≈ 1 : dispersion concentrée sur un axe — État avec un écart dominant dans une direction Hofstede combinée.
Convention : si λ₁ < ε, alors A := 0 (État monocivilisationnel à l'archétype).

3. Cas limites et propriétés¶

3.1 État monocivilisationnel à l'archétype¶

Si wₛ[i₀] = 1 pour un unique i₀ et xₛ = μᵢ₀^score, alors M(s) = 0. Anisotropie A := 0 par convention.

3.2 État équilibré entre 2 civilisations équidistantes¶

Si wₛ[i] = wₛ[j] = 0.5 et xₛ = (μᵢ + μⱼ)/2 = μ̄, alors :

(μ̄ − xₛ) = 0 → biais nul.
Cov_w(μ ; wₛ) est de rang 1 avec eigenvalue ‖μᵢ − μⱼ‖² / 4 selon la direction μᵢ − μⱼ.

λ₁ = ‖μᵢ − μⱼ‖² / 4, λ₂ = … = λ₆ = 0, A = 1.

3.3 État au barycentre du simplexe (`wₛ[i] = 1/11`)¶

Si xₛ = μ̄ = (1/11) Σᵢ μᵢ, alors le biais est nul et :

M(s) = (1/11) Σᵢ (μᵢ − μ̄)(μᵢ − μ̄)ᵀ

C'est exactement la covariance empirique des 11 centroïdes. Dispersion intra-civilisationnelle pure, biais nul. Anisotropie modérée selon l'éparpillement empirique des centroïdes dans B_score.

4. Schéma JSON¶

Cf. schemas/state_moment.schema.json. Champs publiés par État :

{
  "iso3": "FRA",
  "M": [[6x6 matrix]],
  "eigenvalues": [λ_1, ..., λ_6],
  "eigenvectors": [[e_1], ..., [e_6]],
  "invariants": { "I1_trace": ..., "I2_von_mises": ..., "det": ... },
  "anisotropy": 0.42,
  "decomposition": {
    "weighted_barycentre_mu_bar": [6 values],
    "intra_civilizational_covariance": [[6x6]],
    "bias_term": [[6x6]],
    "trace_intra": ...,
    "trace_bias": ...
  },
  "quality_flags": { "monocivilizational": false, "low_evidence": false }
}

5. Tests¶

tests/test_moment_mechanics.py couvre :

test_moment_is_symmetric : ‖M − Mᵀ‖_F < ε.
test_moment_is_psd : eigenvalues ≥ −ε.
test_invariant_trace_is_non_negative, test_von_mises_invariant_is_non_negative.
test_monocivilizational_state_has_zero_moment.
test_anisotropy_in_unit_interval.
test_principal_directions_are_orthonormal.
test_decomposition_consistency (nouveau v3.0) : M = Cov_w + biais vérifié numériquement État par État.

6. Lectures appliquées¶

Le tableau ci-dessous propose des hypothèses interprétatives à confronter aux données publiées dans assets/data/state_moments.json. Aucune de ces lectures n'est validée empiriquement à ce stade — elles sont des prédictions à tester.

État	Profil attendu	`I1` attendue	Anisotropie attendue	Hypothèse
JPN	Quasi monocivilisationnel (Japanese)	basse	basse	État cohérent
FRA	Western dominant + influences ibères/méditerranéennes	moyenne	modérée	Identité affirmée mais avec sous-courants
TUR	Western / Islamic / Sinic-Orthodox marginal	élevée	élevée	Fracture documentée (UE vs Moyen-Orient)
IND	Hindic dominant + Sinic/Islamic minoritaires	élevée	modérée	Vaste héritage multi-civilisationnel
LBN	Western / Islamic / Orthodox imbriqués	très élevée	très élevée	Tension multi-confessionnelle structurelle

Ces hypothèses sont confrontées aux mesures dans doc 13 — Sensitivity analysis.

7. Limites et précautions¶

Pas de causalité : M(s) mesure une structure géométrique, pas une dynamique de conflit. Aucune prédiction d'instabilité politique ou de guerre civile n'est dérivable.
Sensibilité aux centroïdes : M(s) dépend des μᵢ^score calculés sur les États archétypes (cf. doc 08 §4.1). Un changement d'archétypes modifie l'image. Sensibilité quantifiée dans doc 13.
Métrique Euclidienne : M repose sur le produit scalaire usuel dans B_score, qui suppose des unités comparables. L'échelle Hofstede 0-100 par axe le permet, mais il existe une littérature critique sur la commensurabilité des dimensions Hofstede (McSweeney 2002 — cf. doc 11 §A2).
Information secondaire : M(s) est fonction non-linéaire de xₛ via wₛ ; il restructure le signal mais n'en crée pas. La décomposition Cov_w + biais rend cette nuance explicite.
Analogie mécanique : pédagogique uniquement. Aucun ressort, aucune contrainte, aucune dynamique élastique n'est postulée. Le mot « anisotropie » n'est qu'une convention de nommage pour (λ₁−λ₆)/λ₁.

09 — Second moment civilisationnel M(s)¶